多层面课程设计与实施，提高数学建模核心素养

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核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展的必备品格与关键能力。我国著名心理学家林崇德教授认为，中国学生发展核心素养以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为人文积淀等十八个基本要点。

一、数学建模对提高学生数学核心素养的重要性

数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，它是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养不仅包含外显能力，还包含内在思维品质。普通高中数学课程标准（2017版）提出数学核心素养的构成包括数学抽象、数学推理、数学运算、直观想象、数学建模和数据分析共六个核心素养。

数学素养的提出，有别于以知识和解题为主的传统数学教育模式，在信息化时代尤为重要，因为发展个体的核心素养，已成了当今各国教育的主题。在数学课程改革不断深化的今天，准确理解数学素养的概念内涵，分析数学素养的培养策略具有十分重要的意义。普通高中数学课程标准（2017版）拟定了六个数学核心素养：数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，可见数学建模素养是六大数学核心素养之一。

根据普通高中数学课程标准（2017版）的有关阐述，数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动。在该版课标中，数学建模作为必修课程的主题五及选择性必修课程的主题四出现，以及散见于选修课程的B类、C类等多处地方，是高中阶段数学课程的重要内容。

图1 高中数学课程结构

数学建模素养是一种特殊的素养，也是一种特殊的数学素养。数学建模素养是一个复杂的结构，是数学建模知识、数学建模能力和数学建模情感、态度和价值观的综合体现。数学建模素养是学生素养发展过程中最重要的数学素养之一。数学建模素养是学生在数学建模活动中形成的，它集理解问题、提出问题、分析问题和解决问题于一身，是最具有综合性的数学素养。它可以：

1．培养创新意识和创造能力

2．训练快速获取信息和资料的能力

3．锻炼快速了解和掌握新知识的技能

4．培养团队合作意识和团队合作精神

5．增强写作技能和排版技术

6．更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式

数学建模素养的培养和提升，同时涉及到数学抽象、数学推理、直观想象等素养的培养和提升，数学建模素养的提升，反过来也能直接或间接促进其他五个素养的提升。正是因为与其他五个素养间特别是与数学抽象、数学推理、直观想象等有着极强的关联性，对其他五个素养具有较强的涵盖性、包容性和促进作用，数学建模成为高中数学教育培养的关键素养之一。

所以，本课题选取数学建模为切入点，以此有效推动其他核心素养的养成，研究高中数学核心素养培养策略与评价。但查阅文献，发现关于数学建模素养的研究文献较为罕见，而如何培养以及评价高中生的数学建模素养更为罕见。因此，广大数学教育研究人员需要对六大数学核心素养特别是数学建模素养给予更多的重视和研究。

二、当前高中数学教育中的建模内容及实施与评价

经过我们对当前高中数学课程进行梳理，对高中数学涉及数学建模的课程目标、课程内容、课程实施及评价整理归纳如下。

1．课程目标

普通高中数学课程标准（2017版）中提出：数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的主要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

2．课程内容

分为三大块，必修课程、选择性必修课程和选修课程都对数学建模提出了一定程度的要求。

（1）必修课程

为学生发展体现共同基础，是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求。主要体现在函数、数列、解三角形和正弦函数等，如：

案例1.某条河宽3百米，位于两岸的A、B两地相距5百米，现需要建造一条越江隧道连接两地，若知道地下隧道的修建费为每百米万元，水下隧道的修建费为每百米万元.假定河两岸都是平行的直线，问应该如何建造可使总的修建费用最省？并求出最省费用。

案例2.某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位15万吨汽油，12万吨煤油，12万吨重油。该厂从A、B两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示：

	A	B
含汽油（%）	15	50
含煤油（%）	20	30
含重油（%）	50	15
其他	15	5

从A处采购原油每吨价格（包括运费，下同）为200元，B处原油每吨310元.如何采购才能使费用最省？

（2）选择性必修课程

是供学生选择的课程，也是高考的内容要求。主要体现在线性规划、统计等，如：

案例3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0. 1）

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

案例4.实验一：一张圆形白纸，设半径为4，纸上一定点F到圆心C的距离为2，我们作如图2方式的折叠：折痕为MN，折叠后圆上的点与定点F重合，多做几次折叠，把折痕（MN）在纸上画出。

图2 图3

实验二：一张等腰直角三角形的白纸，设底边长为4，我们作如图3方式的折叠：折痕为MN，折叠后点A落在BC边上，多做几次折叠，把折痕（MN）在纸上画出。

问题1：若无数次重复该实验，请猜测折痕所围成区域的边界的轨迹。

问题2：请根据你的猜测，研究折痕所围成区域边界的轨迹，说明理由。

案例5.数学建模案例教学设计（见下文）

（3）选修课程

为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学江南真人官网 提供参考。如：

案例6.自主搜索机器人路径规划问题的解决方案（2016年上海市中学生数学建模竞赛试题）

案例7.金融机构个人贷款业务数据处理分析（2017年上海市中学生数学建模活动赛题）

案例8.无人机灯光表演的数学规划（2017中学生美赛建模）

3．课程实施与教学评价

数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。普通高中数学课程标准（2017版）建议数学建模活动的基本过程如图4。

图4 数学建模流程图（1）

而在有的研究中，则把这一过程凝炼为更加简明的“规划——解决——翻译——反省”的流程，如图5。

图5 数学建模流程图（2）

关于数学建模的教学评价，最新的课程标准建议在数学建模活动的教学评价中，应引导每个学生都积极参加，可以是个体活动，也可以是小组活动。教学活动包括，对于给出的问题情境，经历发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、得到数学结论、说明结论意义的全过程；也包括根据现实情境，反复修改模型或者结论，最终提交研究报告或者小论文。无论是研究报告还是小论文，都要阐明提出问题的依据、解决问题的思路、得到结论的意义，遵循学术规范，坚守诚信底线。可以召开小型报告会，除了教师和学生职务，还可以要求家长、有关方面的专家，对研究报告或者小论文作出评价。可以把学生完成的研究报告或者小论文以及各方评价存入学生个人档案，为大学招生提供参考。

图5 数学建模素养的水平划分

三、开展数学建模活动的实践尝试——以新中高级中学为例

新中高级中学近年来积极开展数学建模创新活动，并形成了“三高”特点：

高起点。在开展数学建模创新活动的同时，我们申报了上海市教育科研市级课题、复旦大学课题之子课题，并已立项，从理论与实践的结合的高度科学推进数学建模创新项目。

高端专家团队。聘请复旦大学数学系、华师大数学系及上海大学数学系专家、博士生等组成专家团队进行指导。

高标准实施。第一层面，面向全体学生、全体数学教师参与的必修课程的应用题教学，称为“教学课例”。第二层面，面向新中创新实验班学生，部分教师组织实施的选择性必修课程教学，称之为师生数学建模“活动案例”。第三层面，以数学天赋好、有浓厚数学兴趣的约10%的学生为对象，由新中骨干教师与大学教授及外聘专家组成的研究型导师团队实施的选修课程教学，称之为数学建模“创新范例”。

下面从三个层面例举新中高级中学开展数学建模教学，培养学生数学核心素养的实践尝试。

1．教学课例

第一层面，即面向全体学生、全体数学教师参与的必修课程的应用题教学。

案例1：

教学过程	设计说明
一、提出问题 某条河宽3百米，位于两岸的A、B两地相距5百米，现需要建造一条越江隧道连接两地，若知道地下隧道的修建费为每百米万元，水下隧道的修建费为每百米万元.假定河两岸都是平行的直线，问应该如何建造可使总的修建费用最省？并求出最省费用。	在修筑道路或确定驾驶路线时，经常会遇到在某些约束条件下，求某种经济效果达到最优的问题.在此，我们仅设计一个较为简单的例子引导学生综合运用已学的知识来解决问题.
二、建立模型 （如图）为使总的修建费用最省，应该在河的一侧岸边选择一处C点，采用路径从A点由水下到C点，再由C点到B点，总的修建费用为.	实际上，上面的实际问题是被我们简化了很多其他因素的数学问题，我们突出主要因素而形成数学问题，这就是数学建模的手段之一。
三、解决问题	数学问题的解答过程实际上就是数学思想的灵活运用和各种数学式子的熟练变形运算的过程.因此数学学习，首先要重视对各种数学思想和方法的深刻领悟，对问题条件结论特征的彻底地分析和揭示，另外还要有较强的运算能力.对于学有余力的同学，我们在拓展课中教授了微积分的基本思想和应用.通过这个问题的研究，不仅能拓宽解题思路，更能激发了学生对研究数学的兴趣。
	在探索问题的过程中，借助计算机进行数学模拟实验.计算机有较强的符号演算能力和图形变换能力，不仅让我们摆脱大量的、繁杂的甚至重复的工作，而且数学问题的难度大大地降低。
	数学并不是孤立的学科.一般我们把数学作为工具来解决物理或化学问题.在解决数学问题时，我们也可以联系相关学科知识协作求解.本环节的设计，把数学问题融于一个物理实验模型中，通过对实验的观察、发现和分析，挖掘实验的深刻背景，触类旁通，引发我们对数学问题的启迪.由此，不仅巧妙地获得数学问题的解答，而且给予了数学问题实际意义的阐释。
五、课后探究——新问题的提出 在实际生活中，上述问题要复杂的多，可能要考虑政治、经济、地理等因素。你是否能根据你的假设，提出相应的模型？如果有，请同学们以小组的形式对你们发现的问题进行研究，并形成相关的研究报告。

有别于一般的数学题，建模的问题往往没有标准答案。学生总是带着问题走进课堂，又带着新的问题走出课堂。在探究未知领域的过程中，除了要运用观察、实验、归纳、类比等方法去发现或猜测，虽然结果可能与预设产生矛盾与冲突，甚至可能无法最终解决问题，但同学们在合作交流中形成了团队合作意识.数学建模不仅培养了学生的数学素养，为今后更好地认识、理解和获得抽象的数学知识打下了基础，还让学生充分享受数学发现带来的乐趣。

案例2：

教学过程	设计说明
复习引入： 例1．某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位15万吨汽油，12万吨煤油，12万吨重油。该厂从A、B两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示： 从A处采购原油每吨价格（包括运费，下同）为200元，B处原油每吨310元.如何采购才能使费用最省？	学生已经学过线性规划最基本的模型，设计本例的意图在于 1.复习建立线性规划模型的一般步骤： (1)根据提议，设未知量，如x、y、z等； (2)建立线性规划目标函数； (3)找出未知量满足的不等式，得未知量的线性约束条件；
总结：本题代表的是一定的任务用最少的资源完成的一类题
例2．某企业生产甲、乙两种产品，生产这两种产品要消耗A、B、C共三种原料.生产每吨产品各需要的A、B、C这3种原料量见下表.该企业每周所能得到A、B、C原料量分别为150吨、240吨、300吨.根据市场需求，该企业生产的甲乙两重产品均可在市场顺利销售，且生产每吨甲乙两种产品可获得的收益分为为24千元和18千元. 问：该企业该如何安排两种产品的产量，才能使每周获得的总收益最大？	进一步掌握线性规划模型解决问题的一般步骤，理解用线性规划模型解决经济中有限资源最优分配问题.
总结：本题代表的是在有限资源条件下完成最多的任务的一类题	前两个例题的设计在于让学生了解线性规划的理论和方法在两类问题中得到应用。
阶段总结用线性规划模型解决问题的一般步骤： (1)从实际问题出发，发现问题； (2)寻找线性规划模型：（包括写线性规划条件、线性目标函数） (3)求线性规划模型的解；可行域，可行域上线性目标函数的最值 (4)得出实际问题的解。	总结线性规划模型解决问题的一般步骤目的不仅仅局限于让学生掌握用线性规划模型解决实际问题，更在于让学生体会数学建模的一般步骤，培养学生数学建模的思想。
	以不同的现实问题作为背景，让学生从多角度了解线性规划问题在现实生活中的广泛应用，培养学生数学建模思想. 让学生体会现实生活中线性规划模型的广泛应用，为第二层次学生在课外的拓展，做好一定的铺垫。
课堂总结： 1.线性规划模型解决问题的一般步骤； 2.数学建模的一般步骤.
作业布置： 1.练习册 2.线性规划在现实生活中应用的研究型报告: 到附近的工厂、商店、企业作调查研究，了解线性规划在实际生活中的应用，把某些实际问题转化为线性规划问题，并作出解答，完成研究型报告。	作业布置不仅局限于课内的应用题，更在于学生建模能力的培养，所以布置了作业2，希望同学们能够开展社会调查，搜集整理用线性规划知识解决问题的案例，把研究成果写成小论文或报告在班级进行交流，提高建模意识。

本节课面对的是高三平行班的全体学生的一节应用题教学课，学生已经具备初步的线性规划的基本理论与知识，所以本节课的设计立足于用数学建模思想组织本节课的教学，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解决的全过程，让学生利用已有的线性规划知识建立线性规划模型，解决现实生活中的线性规划问题，培养学生的建模意识和应用意识，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，使学生感受数学的应用价值，提高数学的核心素养。

2．活动案例

第二层面，即面向新中创新实验班学生，部分教师组织实施的选择性必修课程教学。

案例3：

教学环节		设计 意图
一、呈现实际情境 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表： （1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.1） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
二、正确理解实际问题 问题探究1：如图所示，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表： 请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？ 小组合作发现，代表发言。可能结果： 1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。 3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。 4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式） 5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数（排除法，关键在于周期性）。 得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。 学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表。 有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题： 问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？ 得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？ 可能结果： 【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。 【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。 …… （学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮） 刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题： 问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论） 从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（学生讨论） 可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。		水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律,得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型。
	通过画函数的图象来研究性质.由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问题方法.利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题的能力。
		建模过程——选模，求模，验模，应用.优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间内在联系的理解和认识.逐渐培养学生的良好的个性品质。

三角应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。②建模：根据已知条件与求解目标，数学模型。③求解：利用三角形，求得数学模型的解。④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。本节课是在学习了函数的应用和三角函数的性质和图像的基础上来学习三角函数模型的简单应用。学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力，增进了他们对数学的理解和应用数学的信心，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

案例4：

教学过程		设计说明
		利用课本中本章节中探究与实践的课题二中的问题，引导学生通过操作实验引入课题，激发学生的学习兴趣.并为后续的猜想点的轨迹问题做好准备。 在本节课开始，仍然采用教师提出问题的方式来引导学生思考并建立模型，让学生对于发现问题，提出问题，建立模型的过程有一个初步认识。
		教师通过使用几何画板来演示折痕边界的轨迹形状，利用学生的直观感知，帮助学生猜测边界的轨迹.随后通过师生对话和小组讨论，对提出的问题1和2进行分析与转化,将实际问题进行数学抽象，引导学生充分利用已学习的圆锥曲线的定义等知识，猜测出边界的轨迹，并提炼出合理的数学模型.在这一师生对话，生生对话的过程中，让学生进一步体会解析几何中用代数的方法来解决几何问题的思想，让学生初步了解在实际问题中建立模型的过程.而小组讨论的形式也有利于培养学生的团队合作精神。
		在这一解决问题的过程中，仍然采用小组讨论研究的形式.希望借助这一模式，让每一个学生都有交流自己想法的机会。 对于实验一，在数学模型建立后，学生容易利用椭圆的定义以及三角形两边之和大于第三边等已学知识证明自己的猜想。 对于实验二，类比实验一中椭圆的证明，学生也较容易运用解法一来证明猜想.在学生交流的过程中，也可能会有同学提出不同的方法，比如此处列举的解法二.在解法二中，预计学生很有可能在得到方程后不知如何对方程进行处理.这主要可能是学生在研究包络的边界点与内部点的区别与联系时遇到了困难。此时教师可适时地提示，在“相同”中寻找“相异”，当横坐标相同时，边界上的点纵坐标最大.从而，利用函数与方程的数学思想解决问题。
四、课堂小结——提炼步骤 由学生小结本节课学习内容，并提炼出数学建模过程中的一些主要步骤。	学生回顾本节课的学习，不仅能体会到相关圆锥曲线等知识在实际问题中的应用，还能初步认识到建模过程中的一般步骤,为将来综合运用所学知识来思考和解决实际问题打下基础，提升数学建模的能力。
五、课后探究——新问题的提出 1．以上两个实验的折痕所围成区域边界的轨迹是否还有其他的证明方法？ 2．通过本节课的研究，同学们是否还能发现新的问题？如果有，请同学们以小组的形式对你们发现的问题进行研究，并形成相关的研究报告。	本环节的设计，希望能充分调动学生的积极性，将整个研究过程从课内延伸到课外。培养学生自主发现和提出问题，以及建立和求解模型的能力。最后让学生以报告的形式呈现合作研究的过程和结果，旨在培养学生用数学语言表达问题的能力，从而进一步提升数学建模的核心素养.

本节课是基于教材的探究与实践所提出的问题而设计的一堂有关探究点的轨迹问题的课。在建立数学模型和解决问题的过程中，学生利用充分运用了学生已经学习的有关圆锥曲线的知识来解决实际问题，将实际问题与所学知识很好的联系了起来，进一步体会了解析几何的基本思想方法的同时，了解了如何合理的建立数学模型，从而解决实际问题。

实验一的猜想和证明难度不大，在经过讨论交流后，大多数同学可以完成猜想的证明。实验二相对实验一而言难度较大，学生在猜测点的轨迹时就遇到了困难，因为纸张的大小有限，确实很难通过有限的一段曲线来猜测点的轨迹，还是需要观察实验中所出现的定点和定直线，并将其从具体问题中抽象出来，从而得到合理的猜测，因此还需要提高学生在具体问题中的观察能力，以及数学抽象的能力。

虽然本节课中探究轨迹的过程始终以小组讨论形式来进行，但是发现有些小组中，并非所有成员都参与了讨论研究。今后还要进一步调动学生的积极性，让更多的同学参与到课堂的对话和交流中来。另外，在小组成员表述整个小组的研究过程和成果时，发现学生在数学表达的能力上参差不齐。这也是今后在教学中需要重视的问题。

该堂课的学生作业，我们选取了3份，参见附件1。

案例5：

函数建模（1） 一、教学目标 1．进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问题的意识。 2．进一步尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题。 3．了解数学建模的过程。 二、设计思路和教学建议 这一部分共分为递进的三个层次，从用数学刻画实际问题开始，进而用数学解决实际问题，最后是数学建模。 三、用函数模型解决实际问题 例1.电器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板。长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量。经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据。

在整个教学活动中，引导学生的思维，经历发现问题，分析问题，基本假设，模型建立，模型求解，模型结论，模型推广的全过程。特别是分析问题的过程，一定要让学生积极的参与进来，找准角度建立尽可能简单的数学模型；在基本假设的探究过程中，根据我们建立的简单数学模型，基本假设，需要调动所有学生的积极性，引导学生尽可能全面的考虑问题，将复杂情况简单化；模型建立的过程中，指导学生用超级画板将所研究的问题，图形化，再引导学生用函数思想求解问题，模型求解阶段，先提前给出简单的数据，帮助学生求解，再引导学生去实际测量生活中的数据，带入我们建立的模型求解。模型推广中，让学生发散思维，让学生回顾我们所遇到的问题，在工程和社会生活中还有哪些可以迁移的地方，比如烟盒的设计与制作，货车运输钢管的模型，改进封闭的包装盒等等，体会数学中模型化解决问题的价值。

数学模型案例教学的价值：

高中课堂中渗透数学建模案例教学，应该引导学生，引导学生积极的解答。鼓励学生独立思考。传统的教学只告诉学生怎么去做，怎么去记忆一些程序性的知识，不能够极大的调动学生的学习热情。案例教学没人会告诉你应该怎么办，而是要自己去思考、去创造，使得数学建模的过程变得生动活泼，每个人都可以对老师提出的问题发表自己的看法。中学数学建模案例教学正是为此而生并在实践的过程中不断发展的完善的。传统的教学方法是老师讲、学生听，学到的都是死知识。而在案例教学中，学生拿到案例后，先要进行消化，然后查阅必要的理论知识，经过缜密地思考，提出解决问题的方案。同时他的方案随时需要教师加以指导，这也促使教师加深思考，根据不同学生的不用方案，不断的去某一特殊案例的教学设计，优化问题流程，使教学进入良性的循环之中。

3．创新范例

第三层面，即以数学天赋好、有浓厚数学兴趣的约10%的学生为对象，由新中骨干教师与大学教授及外聘专家组成的研究型导师团队实施的选修课程教学。

案例6：自主搜索机器人路径规划问题的解决方案。该题目为2016年上海市中学生数学建模竞赛试题，我校学生朱逸健、张天成、黄崢琰获得二等奖。其研究报告的摘要参见附件2。

案例7：金融机构个人贷款业务数据处理分析。该题目2017年上海市中学生数学建模活动赛题，我校学生周佳颖、胡羽嘉、李戊辰获得二等奖。其研究报告的摘要参见附件3。

案例8：无人机灯光表演的数学规划。该题目为2017年全美高中生数学建模大赛试题。我校学生李戊辰、胡羽嘉、郑鸣谦、周佳颖获得一等奖。其研究报告的摘要参见附件4。

如何培养高中生的数学建模素养是一个全新的课题，相关研究并不多见。因此，我们计划通过上面三个层面，开设数学建模课程，进行至少一年的数学建模教学，发挥学生更大的主动性，更有效地开展自主学习，同时探讨教师在其中的作用与任务。通过行动研究，边实践边研究，边研究边改进、完善，依此反复进行，探索高中生数学建模素养的培养策略是符合实际的做法。到如今已经效果初现，一批学生研究能力明显加强，参加上海应用数学竞赛10多篇论文获得等级奖。去年参加全美数学建模大赛，20人获得一、二、三等奖。

四、数学建模活动开展过程中的问题及几点思考

1．教材问题

（1）建模教材中有部分内容不配套：建模教材中所用到的定理公理超出了课程标准要求的范围，使得数学建模失去了工具，脱离了实际。

（2）建模教材无系统性：现有数学建模内容零星分插在各个章节中，各内容之间比较孤立，缺乏联系，无系统性。

2．学生问题

（1）学生对数学建模认识不够：原因是因为教材无系统性。

（2）学生对数学建模不够重视：原因是教材与课标脱节，超出学生的能力范围。

（3）学生对数学建模积极性不高：原因是评价机制不够完善。

3．教师问题

总体来说，教师的积极性不高。分析起来，主要是以下原因造成。

（1）教材原因：没有可供实施的相对应的系统的教材，摸着石头过河，实施比较艰难。

（2）评价机制：除了高考的应用题考察外，没有相应的评价机制。

4．评价问题

（1）拓展与研究的建模问题在平时测验考试中无法体现；

（2）研究型报告的评价可操作性差。

对此，我们有以下几点思考：

1．增加课标中数学建模的地位，突出数学建模的重要性。这在最新的普通高中数学课程标准（2017版）中已有所体现，这一问题当能逐步得到解决。

2．建议对建模问题编制一本系统的符合课程标准的拓展教材，加入比较有系统的建模素材，内容可以适当宽泛些，可以包括数学建模、生活中的建模、跨学科的建模等，作业可包括研究型报告的撰写，不在于学生能掌握多少，完成多少，而是通过学习与作业增加学生的建模意识。

3．制定更加符合三个层面的评价机制。对于第一层面，课内评价与课外（测验、高考）评价相结合；对于第二层面，课标应明确研究性报告划分A、B、C、D档的标准，并计入学生综合素质评价网；对于第三层面，通过比赛获奖情况进行相应评价。

参考文献：

1.林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京师范大学出版社2016.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].人民教育出版社2018.

3.潘迪妮、刘微.数学教育在新加坡：基于真实生活的问题解决[J].上海教育2017年第8期.

附录

附录1案例4学生研究报告

学生研究报告1：

提出问题	对于课上的实验一，是否还有其他的方法来证明折痕边界的轨迹是椭圆呢？当我们将这一折纸实验抽象成数学问题，即解析几何的问题以后，我们小组希望通过解析几何中常用的采用建立坐标系的方式来确定折痕边界的轨迹所对应的方程，从而确定折痕边界的轨迹形状。 <教师点评>该小组同学将一个实际问题抽象为解析几何问题，并尝试运用解析几何的基本思想方法，即用代数的方法来研究几何图形的想法是非常值得鼓励的。
建立模型
解决问题

学生研究报告2：

提出问题	对于课上的实验，是否有其他的折纸方式能够使折痕边界的轨迹是不同于椭圆的圆锥曲线，比如双曲线等？我们小组采纳实验一的方法，在纸片上，通过实验与探究，进行合理的猜测，希望能够找到折痕的边界为双曲线的方案并且给予证明。 <教师点评>该小组在解决课上的折纸实验以及猜测和证明的过程中，提出了新的问题。发现问题和提出问题是数学建模过程中非常重要的环节，它是后续开展研究的基础。
方案与猜测	取一张白纸，上面画一个圆，设圆心为C,半径为r. 在此圆外取一定点F，我们作如图1方式的折叠：折痕为MN，折叠后圆上的点与定点F重合，多做几次折叠，把折痕（MN）在纸上画出。 猜测：折痕的边界轨迹为以C、F为焦点的双曲线的一部分。 图1 <教师点评>受到课内实验以及研究过程的启发，该小组将定点设置在圆外，并通过动手实验，发现折痕边界的轨迹可能是双曲线. 学生在动手操作的过程中，可以观察到这些折痕的边界形成的过程，这种直观体验有利于学生得到正确的猜测，并且也给今后解决其他问题提供了一种可行的方案。
建立模型
解决问题

学生研究报告3：

提出问题
方案与猜测
建立模型
解决问题

附件2《自主搜索机器人路径规划问题的解决方案》摘要

江南娱乐官方app下载苹果 朱逸健 张天成 黄峥琰

本文解决了自主搜索机器人的路径规划问题。提出了其移动准则，结合坐标与方向参数，制定出了一套完整的机器人可以据其运作的流程算法，得到结果为应该选择初始位置与目标目标位置所形成的向量与可选路径的夹角尽量小的路径移动。我们同时研究了上述准则在不同图像情况下的成功概率以及失败返回时所使用的方法。通过计算机模拟，在同心圆迷宫中，我们发现甲和乙没有区别，使用上述准则进行模拟，可得到概率为6.25%；在矩形路径中，乙的概率皆为100%。甲到A和C的成功概率为100%，到B点的成功概率为85.44%。我们通过研究盲区的定义和概念，总结出了当搜索起点与目标位置连线经过两条平行直线时必有盲点存在的规律，其他情况用搜索起点与障碍物顶点第一次相交所形成的射线围成的扇形区域与移动过程中第一次经过各边的边盲区的交集区域来判断盲区位置。最后采用多次搜索法尝试消除盲区，得到了最少移动次数为2次。

附件3《金融机构个人贷款业务数据处理分析》摘要

江南娱乐官方app下载苹果 周佳颖 胡羽嘉李戊辰

在本文中，通过对赛题的分析，去除了冗杂的数据，并给出其算法。以矩阵的方式建立多维的评判标准，以权重最大元素进行排序，且使用归一法统一数据大小差异，从而将数据统一在百分率量纲下。本文新定义变量内部控制评级波动值（RC），以RC值与2005年、2006年内部评级均值和方差判断机构评级水平整体上的变化，得出结论：2005年到2006年机构的评级水平整体有所提高，同时更加稳定。

在对数据的研究中，以数据的内部逻辑关系和对金融机构的评级影响，将数据指标分为：损失类贷款数据、风险类贷款数据、审计所涉及问题金额数据、冗余数据。以新增贷款余额（L）将金融机构分为I类和II类，并进一步由新增贷款不良率（NR）、新增关注类贷款不良率（MR）、个人住房类贷款不良率（HR）、个人消费类贷款不良率（CR）将机构分为A、B、C、D、E五类。通过回归方程，利用逾期及非应计贷款不良率预测个人住房类贷款不良率。我们使用一次回归方程进行初步拟合，使用最小二乘法得出最优解——。在此基础上，使用MATLAB中的Linear Fitting函数进行拟合，得到方程y=a∙si n(x-π)+b∙(x-10)^2+c。其中a=1.129，b=-0.07088，c=8.12。此方程仅适用于区间（0,5）内进行回归预计，其中的R Square = 0.8492 Adjusted = 0.8376。

新定义了评级指标增长率（GR），在GR逐渐增长时，NR和MR的分布呈现出一定的趋势。由此，将正常贷款率（SLR）（即1-NR）、关注类不良贷款率（MR），作为用来评价这些金融机构个人贷款业务的综合指标，并由此建立数学模型对机构进行评价。

附件4《无人机灯光表演的数学规划》Summary

江南娱乐官方app下载苹果 李戊辰、胡羽嘉、郑鸣谦、周佳颖

In this paper, a series of models are designed to handle the controlling of a cluster of drones in light shows. We succeed in coping with the problem of the synergies and crashes between the drones and establish a series of general models to accurately describe the movement of each drones.

With variables instead of certain figures, the model can be set with the independent variable ‘t’ (time axis) and plenty of flight parameters(to control the flight conditions) ,which ensures that our model is adaptable in various aspects. With the given ‘t’ and flight parameters, the coordinate of each drone can be well-determined. The complicated motions of the drones in the air are divided into six basic models and each model is described as a concrete function. In theory, any motion that can be accomplished through our basic motion breakdown can be accurately controlled by our model.

A rotation transformation model is established to enable an plane to rotate around an arbitrary axis. A spiral rise model is established following a space curve superposed by Archimedean spiral and each drone’s initial position (to ensure each drone move following the same function and ensure the transformed image as the initial one) and an altitude constant change.

In terms of irregular images, it’s hard to describe the coordinate of a certain drone at any moment during the transformation with a fixed function. In the paper, it is approximately described by the different coordinates of each drone in discrete points of time. Multiple coordinates of each drone at different moments are pointed out to determine the whole process.

In conclusion, all the designed motions can be realized through our models.